プライベートクリニックでの経験が限られているので直接的な回答はできませんが、今のかかりつけ医から履歴を入手し、ジャパングリーンメディカルやロンドン医療センターなどの日系のGPを経由、必要に応じて現地の専門家を紹介してもらうのが良いかもしれません。

こんにちは。10年間英国に住んでいたので答えられる範囲でお答えします（プライベートクリニックは非常に高額で手を出せませんでした）。

おっしゃる通り、NHSは助かる制度ではありますが、緊急時の対応は全くと言っていいほど使い物になりません。

GPに会えるまで１−２ヶ月待たされるなどは全然あるので、私も当時本格的な病気をした時にウェイティングリストに特録された時はその頃にはもう死んでいるかもしれないと思い、急遽日本へ帰国しました。結果として往復のフライトチケットのが安かったのでよかったのですが、おそらく膠原病ですとフライトに耐えられない状況になると思いますのでやはり既存のGPに状況を説明した上で日本人のGPが働いているクリニックをデータベースから紹介してもらえないか聞いてみるのがいいと思います。

一応私の留学仲間で今はUKでGPをしている日本人の知り合いがいるので必要であればお繋ぎして相談に乗ってもらうことは可能かもしれません。ご興味があればDMください。