つい最近、まさに保険証の切り替えのタイミングで病院にかかりましたが、受付で相談したところ、一旦全額支払い、保険証ができた段階で自費分の領収書と一緒に病院の受付に提示すれば、病院側で後付けで保険適用の手続きができると教えてくれました。急病などで一回きりの場合はこの方法でも面倒ですが、定期的に通っておられる場合は一度病院と相談されてみてもいいかもしれません。

またマイナ保険証で切り替えが早くなったのか、については、結論なってないです。入社して5日目と10日目に病院にかかり、どちらもマイナ保険証で切り替わってるか確認していただいたのですが、古い情報のままで、結局更新されたのは保険証が届いてからでした。（1日2日程度は早いのかもしれないですが）