面倒だけどやって欲しいことを丁寧にお願いするなら、

Would you mind [doing] …?

できるかどうか分からないけど試しにやってほしいことを丁寧に言うなら、

Would it be possible for you to [do] …?

Can you… はあまり使わず、could you が多いです。聞いている側からすると丁寧過ぎと捉えられるかもですが。

面倒なことをお願いしちゃってまじごめん、という時は、

　Could you please ...?

を使っています。

お願いする時はほぼ Would you please 〜 とか Would you be able to 〜 ですかね。

昔ネイティブの同僚に、日本人は Can you 使う人が多いけど、なんで Would you にしないんだってガチ目に説教されたことがあったので、以来、Would you にしてます(笑)。

これは会社によるので周りの人がCouldとCanならそれに合わせるのが良いです。例えばメール末尾のThanksとかもある英語の本にはありえない、と書いてありましたが私の界隈では一番使われています。

Much appreciated if you could do ~

とかもありますね。

can youだとタメ口かつ、できるの？みたいな少し失礼な感じになるのかなと思ってました。

少なくともタメ口にはなると思います。

マネージャーだからcan you使ってるとかその人個人のキャラで許されてる、もあると思うので私はcould you+please派です。

英語の丁寧語にもレベルがありますが、一番丁寧なのは最初の投稿の方が挙げているwould you mind 〜ing とwould it be possible for you to 〜だと思います。

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